はい、できます。
【参考】
お気に入りのホームページのアイコンとは、下図で示すお気に入り名の左側に表示されるアイコンです。

お気に入りのホームページのアイコンを保存するには、以下の手順に従って操作してください。
- [スタート]をクリックし、「すべてのプログラム」-「Internet Explorer」の順にクリックします。
Internet Explorerが起動します。
- [ツール]をクリックし、「インターネット オプション」をクリックします。
「インターネット オプション」画面が表示されます。
- 「インターネット一時ファイル」欄の[設定]をクリックします。
「設定」画面が表示されます。
- 「インターネット一時ファイルのフォルダ」欄の[ファイルの表示]をクリックします。
「Temporary Internet Files」画面が表示されます。
- ファイルの一覧から保存するアイコンの「favicon.ico」を右クリックし、「コピー」をクリックします。

続いてアイコンを保存するフォルダを作成します。
ここでは例として「マイ ドキュメント」フォルダ内にフォルダを作成し、保存する方法を説明します。
- [スタート]をクリックし、「マイ ドキュメント」をクリックします。
「マイ ドキュメント」画面が表示されます。
- 「マイ ドキュメント」画面内の何もないところを右クリックし、「新規作成」-「フォルダ」の順にクリックします。
フォルダが作成され、フォルダ名の入力待ち状態になります。
- 任意のフォルダ名を入力し、[Enter]キーを押します。
- 作成したフォルダをダブルクリックして開きます。
- フォルダ画面内の何もないところを右クリックし、「貼り付け」をクリックします。

以上の操作で、お気に入りのホームページのアイコンが保存されました。